Jak vzniklo slovo „extempore“ a jaký jeho přesný význam?

extempore ‘nečekaný, nepřipravený čin či projev’.

Z lat. ex tempore ‘hned, bez přípravy’,dos­lova‘mimočas’,z ex- . a tempus ‘čas’.

J Rejzek: Etymologický slovník

Význam předpony ex- závisí na kontextu.
https://cs.wi­kipedia.org/wi­ki/Ex_(latina)

Upravil/a: annas

extempore >> příležitostná poznámka nesouvisící s hlavním tématem; vlastní přídavek herce do textu divadelní hry http://slovnik-cizich-slov.abz.cz/web­.php/hledat?ci­zi_slovo=extem­pore&typ_hleda­ni=prefix
SSJČ:
extempore: nečekaná, nepřipravená, příležitostná poznámka s hlavním tématem nesouvisící, čin takového rázu: vtipné, obratné e.; učinit e. uprostřed přednášky, výkladu; div. herecké e. vlastní přídavek herce do textu hry;

příležitostná poznámka nesouvisící s hlavním tématem
Vyčerpávající jazykové vysvětlení ti jistě poskytne annas

extempore – má i jiný význam, v herectví je to „nečekaný, nepřipravený čin či projev“, tedy výstup; v některých životních situacích dochází k emocionálním výstupům/výlevům, které se mohou takto označovat: „Vidíš ji? Ta tu zase dělá extempóre!“ (ve významu: chová se výstředně, nepatřičně, teatrálně, nevhodně, netakticky); na dítě které má nervový záchvat a pláče: „Nedělej mi tady extempóre!“ (nedělej mi tu výstupy); dělat extempore/extem­póre – vyvádět