Mají slova ban a banner nějakou spojitost?

Ten druhý odkaz obsahuje bohužel nepravdivou informaci. Zřejmě pod vlivem toho, že to tolik lidí v tomto státě píší velkými písmeny v domnění, že se jedná o zkratku, si tvůrci serveru vyhledali význam této zkratky a ten je úplně jiný (má co dělat s konfigurací serveru). Ban ve smyslu zapovězení přístupu má ve skutečnosti původ daleko prozaičtější, a sice v anglickém slovese ban = zakázat.
Ta dvě slova spojitost nemají. Banner pochází z francouzského „bannière“ a to z pozdně latinského bandum, což je látka, z nichž se vyrábějí vlajky.

Zdroj: https://en.wi­kipedia.org/wi­ki/Banner