Může česka statni policie vykonavat činnost na jinem uzemi než je česká republika?

Ne, policie nemá žádné pravomoce mimo území ČR, protože její moc vychází ze zákonů, které v Polsku samozřejmě neplatí.
Ale myslím, že v praxi pokud bude ujíždět auto směrem k hranicím, tak česká policie upozorní tu polskou a ta si na něj počká. Poté existují smlouvy na předávání zadržených, takže pak předají daného člověka zpět do ČR.

Může v rámci Schengenského prostoru (tzn. ke všem sousedům) překročit hranice za účelem přeshraničního sledování nebo pronásledování:

Podle článku 40 Schengenské prováděcí úmluvy (Úmluva) policisté, resp. i celní orgány, četnictvo a další určené orgány obdobného charakteru (Policisté) států Schengenské dohody, kteří v rámci vyšetřování ve své zemi sledují osobu, která je podezřelá z účasti na extradičním trestném činu, jsou oprávněni pokračovat ve sledování na území druhé smluvní strany. Podmínkou je, že tato strana povolila přeshraniční sledování na základě předem podané žádosti o právní pomoc. Na žádost jsou sledováním pověřeni policisté druhé smluvní strany. Kontaktní orgány určuje oficiálně každá smluvní strana. Pokud není možné z důvodu zvláštní naléhavosti předem požádat druhou stranu o povolení, jsou policisté oprávněni pokračovat ve sledování osoby, která je podezřelá ze spáchání v úmluvě vyjmenovaných trestných činů, a to za blíže stanovených podmínek.

V článku 41 úmluvy je upravena dále možnost pro policisty (v širším významu tohoto označení), kteří ve své zemi pronásledují osobu přistiženou při spáchání nebo při účasti na některém závažném (vyjmenovaném) trestném činu, aby pokračovali v pronásledování takové osoby na území druhé smluvní strany bez jejího předchozího svolení, pokud příslušné orgány této strany nemohly být z důvodu zvláštní naléhavosti předem informovány nebo se nemohly včas dostavit k převzetí pronásledování. Totéž platí i v případě osoby uprchlé ze zajišťovací vazby nebo z výkonu trestu odnětí svobody. Policisté při pronásledování musí být snadno rozpoznatelní buď podle uniformy, pásky na rukávě nebo označeného auta.

V obou případech přeshraničního sledování a pronásledování však existují určitá omezení, která je nezbytné dodržovat na území druhého státu. Tím je zvláště možnost použití služební zbraně jen v případě nutné obrany či možnosti vstupu do obydlí nebo na pozemek, které nejsou veřejně přístupné. Policisté provádějící sledování nebo pronásledování nejsou oprávněni osobu zajistit ani zatknout.

Za účelem realizace těchto přeshraničních možností uzavírají členské státy Schengenu příslušné bilaterální smlouvy. Oba tyto instituty byly zakotveny do trestního řádu.

Zdroj: http://www.po­lac.cz/eu/zakl_ter­m/cast_5.html

bez dohody s tím státem ne. Ale vím, že to tak je,např nedávno německá policie honila nějakého českého zloděje z Neměcka (něco tam ukrad) až na území Karlových Varů, ve spolupráci s naší policií. Takže to možné je, ale asi na to bude nějaká dohoda.

nelze ale aby česká policie jen tak stála na např polské silnici a pokutovala řidiče. to je věc té polské policie.
Tak jako městská policie Praha ti nemůže dát pokutu např v Ostravě.

Podle toho, zda existuje mezinárodní smlouva (dohoda), která takovou spolupráci umožňuje nebo ne – bez takové dohody ne, PČR nemá v zahraničí pravomoci.
Nevím, zda taková dohoda existuje s Polskem, ale třeba s Německem a Rakouskem ano.
😉